Общую схему исследования функции удобно делить на этапы.
Первый этап исследования функции, который не требует привлечения производной, уже рассмотрен нами выше. Этот этап включает выполнение семи основных заданий:
Первый этап исследования функции, который не требует привлечения производной, уже рассмотрен нами выше. Этот этап включает выполнение семи основных заданий:
- Найти область определения функции f(x), точки ее разрыва.
- Найти множество значений функции f(x).
- Найти точки пересечения графика функции f(x) с осью Ox (нули функции f(x)).
- Найти точку пересечения графика функции f(x) с осью Oy.
- Найти асимптоты графика функции f(x).
- Исследовать поведение функции f(x) возле ее вертикальных асимптот.
- Найти координаты точек пересечения графика функции f(x) с ее асимптотами
Рассмотрим первое задание второго этапа (оно восьмое по счету в общей схеме исследования функции): найти критические точки первого рода (точки, где производная функции f(x) равна нулю или не существует).
Вот, как это задание решается с помощью Wolfram|Alpha для функции:
Сначала находим производную функции f(x), используется запрос: d/dx f(x):
d/dx (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))
Далее находим действительные нули производной, используется запрос: real roots of f`(x). Здесь, чтобы не вводить все выражение производной вручную заново можно щелкнуть это выражение в предыдущем окне - откроется новая страница, где выражение производной уже будет введено в поле запроса Wolfram|Alpha:
Кстати, это выражение для дальнейшего полезно скопировать в буфер обмена (и для надежности сохранить в Блокноте).
Теперь добавим перед производной префикс real roots of и выполним запрос - найдем действительные нули производной:
real roots of (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)
Два предыдущих действия можно объединить в одно: real roots of d/dx f(x).
real roots of d/dx[(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))]
И эти результаты тоже совпадают.
Теперь находим точки разрыва производной f'(x), которые принадлежат области определения функции f(x): domain f'(x).
domain (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)
Как видим, в данном случае область определения производной совпадает с областью определения функции. Поэтому в области определения функции производная функции разрывов не имеет. А значит, существует во всех точках области определения функции. Потому, в частности, график функции не имеет угловых точек - "переломов".
Косвенно проверить этот результат можно с помощью запроса corners f(x), который выводит координаты угловых точек (точек "перелома") графика функции:
corners (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))
Итак, восьмое задание в общей семе исследования функции решено. На очереди 9-е задание: Определить интервалы монотонности функции f(x). Как его решить? Об этом - в следующем посте.
Вот, как это задание решается с помощью Wolfram|Alpha для функции:
Сначала находим производную функции f(x), используется запрос: d/dx f(x):
d/dx (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))
Далее находим действительные нули производной, используется запрос: real roots of f`(x). Здесь, чтобы не вводить все выражение производной вручную заново можно щелкнуть это выражение в предыдущем окне - откроется новая страница, где выражение производной уже будет введено в поле запроса Wolfram|Alpha:
Кстати, это выражение для дальнейшего полезно скопировать в буфер обмена (и для надежности сохранить в Блокноте).
Теперь добавим перед производной префикс real roots of и выполним запрос - найдем действительные нули производной:
real roots of (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)
Два предыдущих действия можно объединить в одно: real roots of d/dx f(x).
real roots of d/dx[(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))]
И эти результаты тоже совпадают.
Теперь находим точки разрыва производной f'(x), которые принадлежат области определения функции f(x): domain f'(x).
domain (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)
Как видим, в данном случае область определения производной совпадает с областью определения функции. Поэтому в области определения функции производная функции разрывов не имеет. А значит, существует во всех точках области определения функции. Потому, в частности, график функции не имеет угловых точек - "переломов".
Косвенно проверить этот результат можно с помощью запроса corners f(x), который выводит координаты угловых точек (точек "перелома") графика функции:
corners (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))
Итак, восьмое задание в общей семе исследования функции решено. На очереди 9-е задание: Определить интервалы монотонности функции f(x). Как его решить? Об этом - в следующем посте.