Здравствуйте, уважаемый читатель!
Как Вы помните, в предыдущем посте мы нашли критические точки второго рода данной функции
Мы определили, что у данной функции всего лишь одна критическая точка второго рода x=1.04905.
Теперь воспользуемся достаточным условием существования точек перегиба, чтобы определить, действительно ли эта точка является точкой перегиба или же она таковой не является.
Для этого последовательно выполним следующие шаги.
Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции f(x). Для этого нам следует найти интервалы знакопостоянства второй производной f`''(x), используя запросы solve f`''(x)>0 и solve f`''(x)<0 или просто f`''(x)>0 и f`''(x)<0.
Вот, как выглядит результат запроса f`''(x)>0, который позволяет определить интервалы вогнутости (выпуклости вниз) для данной функции:
d^2/dx^2 (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))>0
Аналогично, по запросу f`''(x)<0, найдем интервалы выпуклости (вверх) для данной функции:
d^2/dx^2 (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))<0
Сделать выводы относительно точки перегиба. Теперь, когда у нас имеются все необходимые сведения, можно, используя достаточное условие существования точек перегиба, сделать выводы относительно точек перегиба функции функции f(x).
Для удобства и наглядности, как и при отыскании точек экстремума, нанесем точки разрыва функции и найденную выше критическую точку второго рода на числовую ось:
number line -1, 0, 1.04905, 3
Используя достаточный признак существования точек перегиба функции одной переменной, определим, действительно ли найденная выше критическая точка второго рода является точкой перегиба графика данной функции (все отметки на этом рисунке, как и выше, сделаны мною вручную "на скорую руку"):
Итак, вывод относительно точки перегиба сделан: критическая точка второго рода x=1.04905 действительно является точкой перегиба. Позже этот результат мы проверим другим способом, который имеется в арсенале Wolfram|Alpha.
Осталось только вычислить значения функции f(x) в точках перегиба. Для этого используется запрос вида f(x), where x=…
(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)), where x=1.04905
Wolfram|Alpha позволяет легко проверить наши выводы относительно точки перегиба, а также непосредственно последний результат, можно с помощью запроса inflection points f(x), который специально предназначен именно для отыскания точек перегиба:
inflection points (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))
Как видим, результаты практически совпадают (с точностью до тысячных).
Итак, основная работа по реализации общей схемы исследования функции с помощью Wolfram|Alpha нами проделана.
Остался следующий этап в общей схеме исследования функции - построение графика функции по результатам исследования. Этот этап будет рассмотрен нами далее.
Как Вы помните, в предыдущем посте мы нашли критические точки второго рода данной функции
Мы определили, что у данной функции всего лишь одна критическая точка второго рода x=1.04905.
Теперь воспользуемся достаточным условием существования точек перегиба, чтобы определить, действительно ли эта точка является точкой перегиба или же она таковой не является.
Для этого последовательно выполним следующие шаги.
Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции f(x). Для этого нам следует найти интервалы знакопостоянства второй производной f`''(x), используя запросы solve f`''(x)>0 и solve f`''(x)<0 или просто f`''(x)>0 и f`''(x)<0.
Вот, как выглядит результат запроса f`''(x)>0, который позволяет определить интервалы вогнутости (выпуклости вниз) для данной функции:
d^2/dx^2 (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))>0
Аналогично, по запросу f`''(x)<0, найдем интервалы выпуклости (вверх) для данной функции:
d^2/dx^2 (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))<0
Сделать выводы относительно точки перегиба. Теперь, когда у нас имеются все необходимые сведения, можно, используя достаточное условие существования точек перегиба, сделать выводы относительно точек перегиба функции функции f(x).
Для удобства и наглядности, как и при отыскании точек экстремума, нанесем точки разрыва функции и найденную выше критическую точку второго рода на числовую ось:
number line -1, 0, 1.04905, 3
Используя достаточный признак существования точек перегиба функции одной переменной, определим, действительно ли найденная выше критическая точка второго рода является точкой перегиба графика данной функции (все отметки на этом рисунке, как и выше, сделаны мною вручную "на скорую руку"):
Итак, вывод относительно точки перегиба сделан: критическая точка второго рода x=1.04905 действительно является точкой перегиба. Позже этот результат мы проверим другим способом, который имеется в арсенале Wolfram|Alpha.
Осталось только вычислить значения функции f(x) в точках перегиба. Для этого используется запрос вида f(x), where x=…
(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)), where x=1.04905
Wolfram|Alpha позволяет легко проверить наши выводы относительно точки перегиба, а также непосредственно последний результат, можно с помощью запроса inflection points f(x), который специально предназначен именно для отыскания точек перегиба:
inflection points (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))
Как видим, результаты практически совпадают (с точностью до тысячных).
Итак, основная работа по реализации общей схемы исследования функции с помощью Wolfram|Alpha нами проделана.
Остался следующий этап в общей схеме исследования функции - построение графика функции по результатам исследования. Этот этап будет рассмотрен нами далее.